Equations et inéquations

1. Equations du premier degré à une inconnue
1.1. Rappels
1.2. Equations avec dénominateur
1.3. Résolution d'un problème
2. Equation produit
2.1. Propriétés
2.2. Equation produit
3. Inégalités et opérations
3.1. Rappels
3.2. Ordre et multiplication par un nombre strictement négatif
3.3. Encadrements
4. Inéquations
4.1. Définition et résolution
4.2. Résolution d'un problème




1. Equations du premier degré à une inconnue

1.1. Rappels

Soit l'équation : 3x + 7 = 2 – 2x, d'inconnue x.
Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les valeurs numériques que l'on peut donner à x pour que l'égalité soit vraie.
Ces valeurs sont les solutions de l'équation. La résolution de cette équation peut se ramener à la résolution d'une équation de la forme:
a x = b




1.2. Equations avec dénominateur



1.3. Résolution d'un problème

Gabrielle a 11 ans et son oncle 46 ans. Dans combien d'années l'âge de l'oncle sera-t-il le double de celui de Gabrielle ?

  • Choix de l'inconnue

    Soit x le nombre d'années cherché, dans x années Gabrielle aura (11 + x) ans et son oncle (46 + x).

  • Mise en équation du problème

    L'âge de l'oncle sera le double de celui de Gabrielle.
    46 + x = 2 (11 + x).

  • Résolution de l'équation

    46 + x = 2 x + 22.
    x = – 24.
    x = 24. 

  • Interprétation du résultat

    Dans 24 ans, l'âge de l'oncle sera le double de celui de Gabrielle : l'oncle aura 70 ans et Gabrielle 35.

  • 2. Equation produit

    2.1. Propriétés

    A et B étant deux nombres relatifs :

  • si A = 0 ou B = 0 alors A * B = 0.
  • si A * B = 0 alors A = 0 ou B = 0.

    Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.< /u > < /p >

  • 2.2. Equation produit

    (3x + 5) (7 – x) = 0 est une équation produit.
    Ce produit est nul si au moins un des facteurs est nul, donc si 3x + 5 = 0 ou bien si 7 – x = 0.
    On résout séparément chaque équation :



    3. Inégalités et opérations

    3.1. Rappels



    3.2. Ordre et multiplication par un nombre strictement négatif



    3.3. Encadrements



    4. Inéquations

    4.1. Définition et résolution

    Une inégalité (telle que : 5x – 3 > 7) où figure un nombre inconnu désigné par une lettre s'appelle une inéquation.
    Résoudre une telle inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l'inégalité est vraie.
    Ces valeurs sont les solutions de l'inéquation.







    4.2. Résolution d'un problème

    Un club de football propose deux tarifs d'entrée pour les 20 matchs qu'il donne à domicile durant l'année.
    Tarif 1 : 7 € par match.  Tarif 2 : un abonnement annuel de 35 € puis 4,2 € par match.

    A partir de combien de matchs le tarif 2 est-il plus avantageux que le tarif 1 ?

    Choix de l'inconnue : Soit x le nombre de matchs auxquels on assiste.

    Mise en équation du problème : Tarif 1 : 7x.  Tarif 2 : 35 + 4,2x.
    Le tarif 2 est plus avantageux lorsqu'on a : 35 + 4,2x < 7x.



    Interprétation : Comme x doit être entier, le tarif est plus avantageux lorsqu'on assiste à 13 matchs ou plus.